数学三大危机
第一次危机：无理数
希伯斯(Hippasu)发现第一个无理数：一个腰为1的等腰直角三角形的斜边（即根号2）永远无法用最简整数比（不可公度比）来表示
第二次危机：无穷小
微积分中的无穷小的合理性
第三次危机：罗素悖论
定义集合 $S = {x: x \notin x}$
如果$S \in S$ 那么 $S$ 作为集合元素，满足 $S \notin S$
如果$S\notin S$ 那么 $S$符合条件，应当被归于 $S$，即有 $S \in S$
语义悖论
说谎者悖论
Alice说：“我在说谎。”
如果Alice确实在说谎，那么她所说的“我在说谎”为真话，则Alice不在说谎
如果Alice不在说谎，则事实与她声称的“我在说谎”不符，即Alice在说谎
培里悖论
The Berry paradox is a self-referential paradox arising from an expression like “The smallest positive integer not definable in under sixty letters” (a phrase with fifty-seven letters).
语句”The smallest positive integer not definable in under sixty letters”描述了其本身是“最小的不能用少于60个字母来描述的正整数”，然而这个语句用57个字母描述了满足上述条件的数